CARATULA

Tecnológico de Estudios Superiores de 

San Felipe del Progreso

Cuaderno de apuntes

ÁLGEBRA LINEAL 

Docente

Raúl Nava López

Alumno 

Luis Antonio De Jesús López

Matricula: 2019330682      Grupo:301

Carrera: Ingeniería Informática 

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1 Números Complejos

 1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma:

z = a + iB

Donde a y b son números reales, a se denomina la parte real de z y se denota por Re z;

B se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im z.

Origen

En el siglo XVI la cantidad √-1 apareció por primera vez en la escena matemática (Mahor, 2006). Se le conoce como “unidad imaginaria” y se define como una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0. 

Esta ecuación no admite soluciones reales, pues el cuadrado de todo número real es positivo. Procediendo formalmente se concluyó que i =  √-1  es un número “imaginario” con derecho a existir en las matemáticas.

Posteriormente se formaron los objetos con la forma z= a + bi donde a y b son números reales, dando paso a los números complejos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

“Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.
 

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

5)     ”[1].

 

Conjugado:

El conjugado de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy.
Ejemplo:
Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es  = 3 – (-2i) = 3 + 2i

Suma y resta :

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplos:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

Multiplicación con números  complejos:

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i², donde i² = -1.

Ejemplos:

División de números complejos:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo:

  lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.

 

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

 Potencias de i:

"El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i² = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i³ = i²i = (-1)i = -i

i⁴ = i²i² = (-1)(-1) = 1

i⁵ = i⁴i = (1)i = i

i⁶ = i⁵i = (i)(i) = -1

Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2].

Módulo de un número complejo:

“Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es

”[3].

Ejemplo:

Z = 3 – 4i

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

 Forma polar:

 “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy.  Como x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos”[1].

r cosθ = x

                                                                                                                                           r senθ = y

Para convertir de forma polar o rectangular:

z = 5 – 5i

Forma exponencial:

            “La ecuación e^iθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = re^iθ”[1].

 

 

 

Expresión rectangular: Z = x + yi

Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).

 

“Convertir de rectangular a polar:

Z = 5 - 5i

1. Se saca el modulo de |z| = r

2. Después de tener el módulo se obtiene teta.

(El resultado de la operación es -45 pero el punto (5,-5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que a 360 se le restara el valor de teta.)

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

“Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rⁿ(cosⁿθ + isenⁿθ).

”[3].

 

 

            “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima " .

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

	Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... ... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.

 

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: 

 , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

                                                                                                          

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: 

También funciona con la división:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: 

Suma y restas

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

“[1].

 

 

 

 

Ejercicio:

Encontrar las raíces cuartas de.

Z=1               n=4

Primero sacamos el modulo

Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre.

En esta fórmula solo vamos a sustituir valores.

Para K=0, K=1, K=2, K=3.

K=0

Entonces nuestras raíces serian: 1, i, -1, -i

1.6 Ecuaciones polinómicas.

“Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo.

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x² + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por:

Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x¹= i y x²= - i.

 

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

 

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.   

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

Numero de soluciones de una ecuación polinóminal.

1er grado X-2=0      X=2

2do grado       X² -6X+9=0        (X-3)   (X-3)=        X=3     X=3

3er grado        X³+4X=0           X(X+2)(X-2)=0          X=0    X=-2i   X=2i

4to grado        X⁴-1=0         (X-1)     (X+1)    (X-1)    (X+i)=0

                        X=1     X=-1     X=1      X=-i    

Encontrar los valores de x :

X⁴- X²- 20= 0

(X²- 5)    (X²+4)=0

2 Matrices y determinantes.

 2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Las líneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El numero de filas puede ser menor, igual o mayor que el numero de las columnas.

Las filas se numeran de arriba hacia abajo y las columnas  de izquierda a derecha. En el ejemplo a): La primera fila de la matriz es   la segunda fila es , la primera columna es  y la segunda columna es .

2.2 Operaciones con matrices.

 Se considera un álgebra de matrices, en la que definimos sobre ellas operaciones con sus respectivas propiedades.

Las operaciones más comunes son:

-        Operaciones de transposición: la transpuesta de una matriz A =   de orden (m,n) es una matriz de orden (n,m), que se obtiene intercambiando filas por columna (o l que es igual, columnas por filas).

-        Suma: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B =  se definen la suma como otra matriz C=  de igual orden.

-        Diferencia: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B = [ ] se definen la  diferencia  como otra matriz C=[ ] de igual orden.

-        Producto por un numero: Dada una matriz  y un numero , el producto B =   que se obtiene multiplicando por  cada uno de los elementos de la matriz A.

-        Combinación lineal: Dadas las matrices A =   , todas del mismo orden y los números , se dice que la matriz   A +  = N, es combinación lineal

2.3 Clasificación de las matrices.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

        

        Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

        

        La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

2.4 Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.

 La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

Intercambiar la posición de dos filas.

Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.

No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).