1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

“Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rⁿ(cosⁿθ + isenⁿθ).

”[3].

 

 

            “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima " .

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

	Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... ... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.

 

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: 

 , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

                                                                                                          

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: 

También funciona con la división:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: 

Suma y restas

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

“[1].

 

 

 

 

Ejercicio:

Encontrar las raíces cuartas de.

Z=1               n=4

Primero sacamos el modulo

Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre.

En esta fórmula solo vamos a sustituir valores.

Para K=0, K=1, K=2, K=3.

K=0

Entonces nuestras raíces serian: 1, i, -1, -i