CARATULA

Tecnológico de Estudios Superiores de 

San Felipe del Progreso

Cuaderno de apuntes

ÁLGEBRA LINEAL 

Docente

Raúl Nava López

Alumno 

Luis Antonio De Jesús López

Matricula: 2019330682      Grupo:301

Carrera: Ingeniería Informática 

Calendario

Descargar documento

Instrumentación

Descargar Documento

Temario

Descargar documento

1 Números Complejos

 1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma:

z = a + iB

Donde a y b son números reales, a se denomina la parte real de z y se denota por Re z;

B se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im z.

Origen

En el siglo XVI la cantidad √-1 apareció por primera vez en la escena matemática (Mahor, 2006). Se le conoce como “unidad imaginaria” y se define como una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0. 

Esta ecuación no admite soluciones reales, pues el cuadrado de todo número real es positivo. Procediendo formalmente se concluyó que i =  √-1  es un número “imaginario” con derecho a existir en las matemáticas.

Posteriormente se formaron los objetos con la forma z= a + bi donde a y b son números reales, dando paso a los números complejos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

“Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.
 

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

5)     ”[1].

 

Conjugado:

El conjugado de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy.
Ejemplo:
Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es  = 3 – (-2i) = 3 + 2i

Suma y resta :

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplos:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

Multiplicación con números  complejos:

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i², donde i² = -1.

Ejemplos:

División de números complejos:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo:

  lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.

 

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

 Potencias de i:

"El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i² = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i³ = i²i = (-1)i = -i

i⁴ = i²i² = (-1)(-1) = 1

i⁵ = i⁴i = (1)i = i

i⁶ = i⁵i = (i)(i) = -1

Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2].

Módulo de un número complejo:

“Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es

”[3].

Ejemplo:

Z = 3 – 4i

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

 Forma polar:

 “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy.  Como x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos”[1].

r cosθ = x

                                                                                                                                           r senθ = y

Para convertir de forma polar o rectangular:

z = 5 – 5i

Forma exponencial:

            “La ecuación e^iθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = re^iθ”[1].

 

 

 

Expresión rectangular: Z = x + yi

Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).

 

“Convertir de rectangular a polar:

Z = 5 - 5i

1. Se saca el modulo de |z| = r

2. Después de tener el módulo se obtiene teta.

(El resultado de la operación es -45 pero el punto (5,-5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que a 360 se le restara el valor de teta.)

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

“Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rⁿ(cosⁿθ + isenⁿθ).

”[3].

 

 

            “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima " .

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

	Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... ... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.

 

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: 

 , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

                                                                                                          

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: 

También funciona con la división:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: 

Suma y restas

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

“[1].

 

 

 

 

Ejercicio:

Encontrar las raíces cuartas de.

Z=1               n=4

Primero sacamos el modulo

Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre.

En esta fórmula solo vamos a sustituir valores.

Para K=0, K=1, K=2, K=3.

K=0

Entonces nuestras raíces serian: 1, i, -1, -i

1.6 Ecuaciones polinómicas.

“Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo.

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x² + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por:

Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x¹= i y x²= - i.

 

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

 

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.   

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

Numero de soluciones de una ecuación polinóminal.

1er grado X-2=0      X=2

2do grado       X² -6X+9=0        (X-3)   (X-3)=        X=3     X=3

3er grado        X³+4X=0           X(X+2)(X-2)=0          X=0    X=-2i   X=2i

4to grado        X⁴-1=0         (X-1)     (X+1)    (X-1)    (X+i)=0

                        X=1     X=-1     X=1      X=-i    

Encontrar los valores de x :

X⁴- X²- 20= 0

(X²- 5)    (X²+4)=0