CARATULA

Tecnológico de Estudios Superiores de 

San Felipe del Progreso

Cuaderno de apuntes

ÁLGEBRA LINEAL 

Docente

Raúl Nava López

Alumno 

Luis Antonio De Jesús López

Matricula: 2019330682      Grupo:301

Carrera: Ingeniería Informática 

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1 Números Complejos

 1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma:

z = a + iB

Donde a y b son números reales, a se denomina la parte real de z y se denota por Re z;

B se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Im z.

Origen

En el siglo XVI la cantidad √-1 apareció por primera vez en la escena matemática (Mahor, 2006). Se le conoce como “unidad imaginaria” y se define como una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0. 

Esta ecuación no admite soluciones reales, pues el cuadrado de todo número real es positivo. Procediendo formalmente se concluyó que i =  √-1  es un número “imaginario” con derecho a existir en las matemáticas.

Posteriormente se formaron los objetos con la forma z= a + bi donde a y b son números reales, dando paso a los números complejos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

“Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.
 

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

5)     ”[1].

 

Conjugado:

El conjugado de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy.
Ejemplo:
Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es  = 3 – (-2i) = 3 + 2i

Suma y resta :

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplos:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

Multiplicación con números  complejos:

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i², donde i² = -1.

Ejemplos:

División de números complejos:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo:

  lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.

 

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

 Potencias de i:

"El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i² = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i³ = i²i = (-1)i = -i

i⁴ = i²i² = (-1)(-1) = 1

i⁵ = i⁴i = (1)i = i

i⁶ = i⁵i = (i)(i) = -1

Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2].

Módulo de un número complejo:

“Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es

”[3].

Ejemplo:

Z = 3 – 4i