3 Sistemas de ecuaciones lineales.

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones.

A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y,  tiene las siguientes representaciones:

 

Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son coeficientes reales (ℝ).
Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y).  

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

 Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.

 Pueden presentar los siguientes casos:

1. Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
2. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

• Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
• Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Teniendo así la clasificación:

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a  uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 y no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo.

Para proceder a la resolución se debe:

• Eliminar paréntesis.
• Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.  

  

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) Ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). 

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

 

 

c) Ecuaciones literales:

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

Los finitos pares ordenados (x; y) que satisfagan a la ecuación lineal a.x + b - y + c=0 corresponden a los infinitos puntos de una recta del plano. Por tanto, el problema de resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas es el problema de estudiar la posición de sendas rectas.

1. Sistema incompatible (carece de solución) rectas paralelas.
2. Sistema compatible y determinado (solución única) rectas secantes.
3. Sistema compatible e indeterminado (infinitas soluciones) rectas coincidentes.

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son:

1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. 

2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. 

3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente.

Con la ayuda de un ejemplo, vamos a entender las diversas soluciones posibles.

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales dado como:

y = 3x – 2 y = -x – 6

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de Gauss: 

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista. 

   

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

Matriz Triangular Inferior (Matriz aumentada)

En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de la cual, fue fácil obtener la solución 

X = -23.8, Y = 32.6, Z = -7.8 para el sistema original de ecuaciones. 

El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X + 2Y + 3Z = 18                       Y + 2Z = 17                    Z = -7.8

 Sustituimos las ecuaciones y la solución  Z = -7.8, Y = 32.6, X = -23.8 se hace obvia examinando la raíz aumentada.

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De Gauss-Jordán: 

 Se definió un poco la forma de solución de  un sistema de ecuaciones lineales una vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará un procedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser empleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida.

     

Paso 1

                                                                Paso 2

                                                                Paso 3

Matriz Identidad

El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X = -23.8                       Y = 32.6                    Z = -7.8

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de determinantes o regla de cramer:

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Representar las ecuaciones en matrices

                

2. Calcular la determinante de la matriz A

                                                      

                3. Crear las matrices Δ₁, Δ₂ y Δ₃ y calcular sus determinantes 

     

                                                   

                4. Calculamos X, Y y Z

X = |Δ₁|/|A| = -238/10 = -23.8

Y = |Δ₂|/|A| = 326/10 = 32.6

Z = |Δ₃|/|A| = -78/10 = -7.8

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Metodo De La Inversa

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).

   

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son los siguientes:

                1. Calcular la inversa de la matriz A:

                2.- Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B

X = 18(-31/10) + 20(17/10) + 10(-1/5) = -23.8

Y = 18(37/10) + 20(-19/10) + 10(2/5) = 32.6

Z = 18(-11/10) + 20(7/10) + 10(-1/5) = -7.8

Método por sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita ´y´ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. 

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita ´y´ en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la  ´x´.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Matriz Inversa:

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado  n x n matriz, es otro n x n matriz denotado por A^-1  :

Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas.

Fórmula para Inversa nxn matriz inverza:

Se puede encontrar la inversa de una matriz nxn general utilizando la siguiente ecuación

3.5 Aplicaciones.

Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas.

En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas

Ejemplo:

La empresa “Organicomputer”, fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta_pero_segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una lenta_pero_segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

Solución

En nuestro caso las incógnitas es el número de cada tipo de computadora a producir: 

• x = número de computadoras cañón
• y = número de computadoras clon
• z = número de computadoras lenta_pero_segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado pruebas, e instalación de programas.

Nuestras matrices serán:

En esta ocasión se resolverá por Cramer, pero se puede utilizar cualquiera de los métodos (Gauss, Gauss Jordán, Usando la inversa), el resultado debe ser el mismo.

 

• X = |Δ₁|/|A| = -51/-1.5 = 34
• Y = |Δ₂|/|A| = -6/-1.5 = 4
• Z = |Δ₃|/|A| = -27/-1.5 = 18

Al resolver este sistema obtenemos:

X = 34, Y = 4, Z = 18

34 computadoras Cañón.

4 computadoras Clones.

18 computadoras lentas pero seguras.