2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero.  La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).

Sea A una matriz cuadrada n x n.  Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface  A ∙ B = I  y  B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

La inversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

 

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles.  entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

 

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.   Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I.  Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.